В рамках редакционной линии на сохранение памяти о выдающихся людях Пензенского края «Улица Московская» публикует воспоминания Тимура Василенко об известном педагоге Эдуарде Коцаре.
Сергей Чупрына (слева) и Эдуард Коцарь. Из архива кружка Коцаря
С Эдуардом Георгиевичем мы познакомились в сентябре 1980 г., когда я учился в 9-м классе. Первая половина сентября – это время набора в кружок, занятия начинались в третье воскресенье сентября. Меня вызвала к себе завуч, спросила, хочу ли я заниматься в математическом кружке. Я заинтересовался. На год старше, в 10-м классе, училась Оксана Карпенко, уже занимавшаяся в кружке, она отвела меня к Эдуарду Георгиевичу домой, в маленькую однокомнатную квартиру на первом этаже хрущевки на ул. Пацаева.
Коцарь произвел впечатление: он был большой, он был седой и сильный, и он был артистичен. Кроме нас с Оксаной пришел еще кто-то из школьников, и Эдуард Георгиевич с нами беседовал о математике, задавал задачи. Почти все эти задачи я решил, одну нет. Вот она: могут ли в четырехугольной пирамиде две противоположные боковые грани быть обе перпендикулярны плоскости основания? Эта задача не давала мне покоя и после окончания визита, я даже не мог заснуть. Вот тогда, ночью, я и решил ее, и после этого спокойно заснул.
Был принят в кружок и занимался там два учебных года: 1980/1981 и 1981/1982. Такой способ пополнения кружка – через завучей и учителей школ, которые направляли к Коцарю способных учеников, – был одним из основных.
Другим источником было привести друга. Так я привел пару своих друзей. Кого-то Коцарь взял, одного не взял, сказав, что способностей для кружка не хватает, «тут занимаются суперпрофессионалы», но взял этого парня на индивидуальные репетиторские занятия.
Кружок был для нас бесплатным. Какие-то небольшие деньги Коцарь получал за него то ли в школе, то ли в гороно, не знаю. Параллельно он как репетитор занимался с учениками, готовил к поступлению в серьезные вузы, но эта часть его жизни была тогда мимо меня.
Как я сказал, занятия начинались во второй половине сентября, проходили по воскресеньям в 53-й школе, для десятиклассников по четвергам была еще консультация у Коцаря дома. Каникулы (кроме летних) не являлись поводом не заниматься, так что с сентября до конца апреля (у девятиклассников до конца февраля, наверное) каждое воскресенье на целый день мы ехали на Западную Поляну в 53-ю школу.
День имел следующий график.
Занятия начинались в 9:00, и первой шла лекция: два академических часа без перерыва.
Потом небольшой перерыв, минут 5–10.
Далее у доски разбирались домашние задачи 10-го класса (девятиклассники могли это смотреть, могли решать свои задачи) – это тоже одна пара, два академических часа.
После этого был большой перерыв на обед, наверное, на полчаса. Обедали все ученики вместе, принесенная еда выкладывалась на общий стол, и каждый брал то, что хотел. Сам Коцарь обедал отдельно.
После обеда следующие два академических часа разбирали у доски задачи 9-го класса, они же устные задачи на экзамене. Разумеется, в решении и разборе этих задач участвовали все, и десятиклассники тоже.
На этом математическая часть заканчивалась, кто-то шел домой, но большинство оставалось на небольшой перерыв.
Завершалось все чтением книги. Эдуард Георгиевич имел дар художественного чтения и умел выбирать книги. Он читал нам либо рассказ, либо отрывок из какой-нибудь книги. Но об этом я напишу ниже.
Из наблюдения за ходом занятий и осмысления этого опыта я могу вывести следующие педагогические приемы, которые использовал Эдуард Георгиевич.
1. Большие домашние задания. Задачи задавались на неделю, их было много, и они были разнообразными как по содержанию, так и по сложности.
2. Ученик не обязан был решить все задачи (не припомню, чтобы мне хоть раз это удавалось), но он обязан был решать каждую задачу.
3. Поэтому, когда на кружке мы разбирали у доски задачи, все воспринимали решение быстрее и лучше, поскольку уже ломали дома голову над этой задачей.
Каждую задачу выходил к доске докладывать один из решивших. Чертеж цветными мелками, запись решения – все это подвергалось анализу и критике. Помню, один раз мне пришлось менять решение уже на доске: задача была довольно сложная, стереометрия, для решения надо было перейти от треугольной пирамиды к ее развертке. Мое первоначальное решение было правильным, но неочевидным. Чем объяснять мое решение, было проще изменить способ развертки, и доказываемый тезис становился очевидным.
Таким образом, на кружке мы тренировались не только решать задачи, но и внятно и логично записывать решение. Кстати, это умение мне потом пригодилось в МГУ при конспектировании лекций.
Если задачу никто не решил, то Эдуард Георгиевич решал ее сам или мы решали ее все вместе. Бывали случаи, когда задача не поддавалась (последние задачи вступительных экзаменов МГУ и Физтеха были те еще монстры), тогда Эдуард Георгиевич переносил ее на неделю и на следующем занятии показывал ее решение.
Олимпиадную математику Коцарь не жаловал. Он, разумеется, гордился, что его ученики прежних лет побеждали на всесоюзных и международных олимпиадах, но считал это скорее неожиданным бонусом, поскольку специально к олимпиадам не готовил.
Занятия математикой в кружке преследовали две цели:
• подготовка к поступлению в серьезные вузы (пензенские пед и политех таковыми не считались);
• показать красоту и внутреннее устройство математики, развить основы математического мышления.
В части задач десятиклассники больше решали задачи письменных вступительных экзаменов, а девятиклассники занимались более красивыми и нешкольными задачами типа «построить треугольник по основанию, противолежащему углу и высоте из этого угла» – задача на построение циркулем и линейкой, одна из громадного пласта задач такого типа.
Кстати, конкретно эта задача является базовой. Коцарь дал нам ее на первом занятии в 9-м классе. Эта задача решается нетривиально: кажется, что сначала надо построить угол и потом пытаться на его сторонах как-то отыскать вершины нужного треугольника.
Нет, действовать надо прямо противоположным образом: надо над основанием надстроить дугу, из которой основание видно под данным углом, а потом пересечь эту дугу прямой, параллельной основанию и отстоящей от нее на длину высоты треугольника. Этот прием произвел в моих мозгах переворот – оказывается, можно вывернуть взгляд на задачу наизнанку. Геометрия заиграла совершенно новыми красками.
***
Разумеется, задачи были не только геометрические. В частности, периодически встречались задачи на делимость, самые азы теории чисел.
С одной стороны, это было введение в нешкольную математику, задачи, на которых можно было прочувствовать, что такое математика, как устроены в ней рассуждения и доказательства, что такое необходимость и достаточность, рассуждения от противного.
К тому же серьезная математика была совсем рядом: вот мы решили задачу, а если немного изменим условие или рассмотрим чуть иную конструкцию или иной вопрос, то для решения такой задачи требуются уже совсем не школьные методы, а вот эта задача до сих пор не решена.
Тут особо хороша элементарная теория чисел – сам вопрос понятен и школьнику, а решения до сих пор нет. К примеру, проблема Гольдбаха: верно ли, что любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел? Коцарь умел показать вот эту близость края науки школьникам. Это завораживало.
Собственно, именно такие задачи называются красивыми – когда краткая формулировка, а решение содержит новую продуктивную идею, или хотя бы неожиданную.
И в то же время многие из этих задач давались на устных экзаменах в вузах. Напоминаю, что в МГУ на мехмате, физфаке и ВМК, а также в Физмехе, в Бауманке, в МИФИ и других вузах было два экзамена по математике – письменный и устный. Письменный был пять или шесть задач, причем последняя была очень сложной.
А потом был устный экзамен, на котором тянешь билет с теорией и задачей (или там было три вопроса?), а потом экзаменатор дает тебе небольшие задачи типа тех, что мы решали в кружке.
Лекции, которые читал Коцарь в начале занятия, в половине случаев были больше о математике, нежели ради подготовки к экзаменам.
***
К этому времени (март?) занятия у девятиклассников заканчивались – весна уже целенаправленно была посвящена подготовке к экзаменам и поступлению. В частности, в одно из воскресений проводился экзамен: два с половиной часа мы решали написанный на доске вариант, а потом некоторые из нас сдавали и устный экзамен – для этих целей Эдуард Георгиевич приглашал своих друзей-математиков Олега Петровича Степченкова и Льва Николаевича Сапегина.
Еще одно из воскресений в конце января на кружке был «общий сбор» – приезжали студенты на каникулы, бывшие кружковцы приходили и рассказывали о своем студенческом житье, о своих вузах. Кто-нибудь из студентов читал нам лекцию о том, чем он занимается. Я тоже читал такую лекцию.
Немного о составе кружка. Численность примерно 30 человек, треть –девятиклассников, две трети – десятиклассников. У меня сохранились две общие фотографии кружка во время майских походов в лес (на майские праздники обязательно шли в лес на Западной Поляне – традиция). На одной 21 парень и 9 девушек, на другой 19 парней и 10 девушек. Выходит, то же соотношение 2:1.
Как я выше сказал, занятия в кружке у девятиклассников заканчивались в марте, у десятиклассников – в конце апреля, кажется. На самом деле у десятиклассников было два занятия в неделю – по четвергам мы собирались у Коцаря дома (сколько народу может набиться в однокомнатную хрущевку!) на консультацию, разбирали задачи. Впрочем, это только в первой половине консультации, потом все постепенно переходило на разговоры о философии, литературе, музыке, вообще «за жизнь».
Во многом я ходил на консультации именно ради их второй части, неформальной (решать задачи получалось и так). Коцарь был артистичен и любил общество слушателей, а мы были восхищенными слушателями. Часто к концу консультации приходили и бывшие ученики – послушать Эдуарда Георгиевича, иногда что-то рассказать из столичной научной и культурной жизни. (В скобках хочу отметить долготерпение его жены Раисы Ивановны, которая все это время сидела на кухне, только очень изредка выходила к нам.)
Математика была значимой частью смысла существования кружка, но не единственной – гуманитарная и культурная компоненты были очень важны. Я уже писал выше, что Коцарь на кружке в конце занятий читал нам книги (и да, читать он умел). Вот те произведения, что я смог вспомнить: Генри Лоусон «Шапка по кругу», Виктор Конецкий «Невезучий Альфонс», Василь Быков «Дожить до рассвета», Редьярд Киплинг «Баллада о ночлежке Фишера», «Мэри Глостер», Александр Грин «Сердце пустыни», Джавахарлал Неру «Письма о всемирной истории», Эдвин Арнольд «Свет Азии», Эрнест Хэмингуэй «Старик и море», Ги де Мопассан «Лунный свет», Лев Гинзбург «Бездна».
***
Так, в беседах и просто находясь в окружении книг (у Коцаря была прекрасная библиотека, которая занимала две стены стеллажей от пола до потолка), мы знакомились с многообразием литературы и вообще культуры, в частности философии. Пару полок занимали тома философского наследия, иногда беседа касалась и философских вопросов.
Эти полки с книгами произвели на меня впечатление при самой первой нашей встрече, я часто рассматривал корешки книг во время визитов. Позже, когда стал студентом МГУ, от друзей узнавал об очередной интересной книге, а потом во время очередного визита к Коцарю находил глазами ее на полках. Позже, на курсах постарше, некоторые из этих книг находить перестал, но Коцарь обычно знал о такой книге, и мы могли перекинуться парой фраз о ней.
И уж совсем потом я рассказывал о какой-либо книге, о которой Коцарь не знал. Я привез ему несколько таких книг и страшно горд, что открыл их ему. В некотором смысле для меня это была эмансипация, выход из-под крыла учителя в самостоятельную интеллектуальную жизнь.
Наши (нас, участников кружка) отношения с Коцарем не были похожи на отношения со школьными учителями, скорее на то, что связывало Сократа и его учеников. Коцарь был Учитель (кстати, он говорил, что учитель не может сказать «мой ученик», только сам ученик может назвать кого-то своим Учителем) и своим примером показывал нам образец человека.
Разумеется, он полностью осознавал свою ответственность, и потому, в частности, в кружке были полностью запрещены разговоры о политике и уж точно никакой антисоветчины (помню по крайней мере один случай, когда он жестко пресек такой разговор в зародыше). У нас в кружке занимались дети самых разных родителей, в частности высших партийцев. Также и вузы, в которые собирались поступать, были разные: и МГУ, и МИФИ, и Высшая школа КГБ.
Много позже как-то Коцарь рассказал мне, что его вызывали на беседу в КГБ. Да и странно было бы, если бы КГБ проигнорировал существование «пензенского Сократа», если можно так выразиться. Коцарь не вдавался в подробности беседы, но сказал, что «беседа была уважительная». Не думаю, что «не касаться политики» было явно высказанным требованием, скорее это была молчаливая договоренность. Вот кем Коцарь точно не был, так это диссидентом – его интересы были глубже.
Помимо литературы и философии Коцарь часто говорил о музыке. Он очень любил классику. Его любимые композиторы (в алфавитном порядке): Бах, Бетховен, Вивальди, Гендель, Моцарт. У него была хорошая коллекция пластинок классической музыки, хороший проигрыватель и акустика. Несколько раз он приглашал нас на прослушивание музыки, слушали в полной темноте.
При всей любви к музыке Эдуард Георгиевич не ходил на концерты, предпочитая хорошую запись и прослушивание в удобных ему условиях и тогда, когда он хочет. У перечисленных композиторов он мог слушать практически всё, но, разумеется, ими не ограничивался. В частности, именно у него я впервые услышал «Болеро» Равеля, дирижировал Мравинский. Оперу он не слушал, насколько помню. Также помню, что музыка Шостаковича была ему не близка. В какой-то момент он совсем перестал слушать музыку, и последние лет пятнадцать его коллекция пластинок лежала мертвым грузом.
***
Так что гуманитарная и общекультурная составляющая его занятий и вообще общения с нами была весьма значима. Как-то, много лет после кружка, он сказал мне: «Неужели ты думаешь, что кружок был только ради математики?» Разумеется, я так не думал, но есть большой вопрос, так ли уж значима оказалась эта культурная/смысложизненная составляющая его общения с нами.
Под конец жизни он как-то высказал свое разочарование в результатах этой деятельности. Через Коцаря прошло порядка семисот учеников, но где его преемник? Нет такого.
После смерти Коцаря мы, его ученики и друзья (те из учеников, что продолжили общение с ним после кружка в течение всей жизни), однажды собрались вместе – было высказано предложение возродить кружок и занятия со школьниками. Многие говорили, что «математика в кружке была не главное».
Послушав это, я предложил говорившим оглядеться – за столом сидело полдюжины математиков (по образованию) и одинокая психологиня. Сам наш состав подтверждал, что математика была главной составляющей кружка, именно через нее и довеском к ней мы получали все остальное.
***
Ну и в конце года Коцарь ставил большую точку – рисовал мелом на доске, после чего занятия считались завершенными окончательно.
Все поступающие сообщали Коцарю свои вступительные оценки. Мы знали, что лучший результат, за который можно было бороться на вступительных экзаменах по математике в МГУ или в Физтехе, это – 4/5: 4 за письменный экзамен и 5 за устный; 5 на письменном экзамене – это уже из области везения. (В скобках замечу, что нормальной оценкой за сочинение считалась тройка – проходные баллы мы должны набрать на профильных предметах). Также мы собирали задачи с устных экзаменов – и свои, и просто расспрашивали выходящих с экзамена абитуриентов. Эти задачи поступали в копилку для следующих учеников кружка.
После поступления полагалось зайти к Коцарю с цветами и рассказать об экзаменах. Если не поступил, то тоже зайти рассказать – такой разбор полетов. Частью кружковой науки были приемы, как надо сдавать экзамены. К примеру, письменный экзамен надо решать, начиная с самой легкой задачи. Решил, проверь и сразу оформляй, не откладывай (вдруг не успеешь). Последние полчаса полагались на проверку – даже если не все решил, лучше проверь решенное, а потом, если осталось время, пытайся решить недоделанное.
Категорически запрещалось сдавать работу до окончания письменного экзамена – экзаменаторам заняться нечем, они будут копать и придираться к оформлению. Нет, только в конце экзамена в общей массе.
Были и некоторые рекомендации по устному экзамену. В частности (и это важно!), всегда можно попросить минуту-другую подумать. Очевидная вещь, но школьнику это неизвестно. Была и темная сторона устных экзаменов – на них могли целенаправленно валить, давая простые на вид, но практически нерешаемые задачи. У Коцаря был список и таких задач.
***
Мы общались с Коцарем в течение всей жизни. Можно ли назвать это дружбой? Не вполне, отношения учитель/ученик сохранялись. Мы часто встречались, как минимум раз в месяц, созванивались еще чаще.
После университета я несколько лет занимался репетиторством, часто учеников мне присылал Коцарь. Это были не индивидуальные занятия, а небольшой группой. Помнится, Коцарь сказал, что два-три ученика хорошо, четыре еще нормально, а пять уже много, с такой группой заниматься тяжело.
Отдельная часть нашего общения была решение задач. Коцарь периодически звонил мне с какой-нибудь олимпиадной или экзаменационной задачей – помочь решить. Для меня это было такое хобби, чтобы мозги не ржавели. Кроме меня он звонил еще своему другу Олегу Петровичу Степченкову, иногда у него получалось решить задачу, иногда у меня (чаще у обоих). Признаюсь, мне этого не хватает.
***
В самом конце жизни Коцарь был… Я не хочу вспоминать, что с ним было. Однажды он решил выкинуть на помойку все свои бумаги, все свои тетради, письма, все. В то время его опекал один его друг, простой работяга, они познакомились в больнице. И этот его друг пресек эту попытку, вызвал такси и увез все бумаги к себе домой. Коцарь говорил об этом с некой гордостью – гордость за друга и гордостью за то, что его бумаги этот друг счел столь ценными, что разорился на такси и пошел поперек желания Коцаря.
После смерти Эдуарда Георгиевича я разыскал этого его друга (мы встречались несколько раз раньше) и спросил о судьбе бумаг. Тот ответил, что несколько тетрадей с цитатами великих людей (вторая книга Коцаря, в которой он скромный составитель) он оставил на память (и я брал их отсканировать), а остальное мельком глянул, увидел, что это частная переписка, и, не читая, сжег. Частная жизнь на то и частная, чтобы в нее никто не лез.
Тимур Василенко, Пенза, 12–20 февраля 2024 г.
Автор "Улица Московская"
